实对称矩阵是指一个矩阵A，其转置矩阵等于它本身，即AT=A。实对称矩阵在数学中具有重要的地位和应用，因此研究实对称矩阵的性质和特点十分重要。

实对称矩阵有许多重要的性质和特点，其中必要条件是其中所有的特征值都是实数。特征值是指在矩阵运算中，矩阵与其特征向量相乘后仍然得到该特征向量的非零常数。如果矩阵的特征值都是实数，那么它就是实对称矩阵。

证明这一必要条件可以采用反证法。假设存在一个实对称矩阵A，它的特征值不全为实数。那么必然存在一个复数λ=a+bi是A的特征值，其中a和b都是实数，i是虚数单位。此时，存在一个非零向量x，使得Ax=λx。我们将x表示成x=u+iv的形式，其中u和v都是实向量。则有：

Au+Avi=(a+bi)(u+iv)

对实部和虚部分别进行观察，可以得到：

Au=au-bv，Av=bu+av

由于A是实对称矩阵，有A=AT。因此，有：

(u+iv)AT(A(u+iv))=(u+iv)A(u+iv)

展开后可以得到：

uATAu+vATAv+i(uATAv-vATAu)=uAu+vAv+i(uAv+vAu)

由于u和v都不为零，因此上式中i的系数不为零。因此，左侧的虚部和右侧的虚部不相等，与等式成立矛盾。因此，假设不成立，实对称矩阵的特征值必须都是实数。

因此，实对称矩阵的必要条件是它的特征值都是实数。这一必要条件在实际应用中具有重要的意义，可以帮助我们判断矩阵的性质和特点，从而更好地进行相关计算和分析。