刚体转动惯量是刚体围绕某一轴旋转时所表现出的惯性特性，是描述刚体转动惯性大小的物理量。在物理学中，几种常见的刚体转动惯量公式是非常重要的，下面我们来介绍一下这些公式的推导过程。

1. 关于质点转动惯量公式的推导

我们首先考虑一个质量为m的质点，它沿着一条轴线旋转。假设这条轴线与质点的距离为r，那么质点的转动惯量可以表示为I=mr²。这个公式可以通过以下推导得出：

我们知道，质点的动量可以表示为p=mv，其中v是质点的速度。对于一个旋转的质点，它的速度可以表示为v=rω，其中ω是角速度。因此，质点的动量可以表示为p=mvrω。根据牛顿第二定律，力等于质量乘以加速度，可以得到F=ma=m(rα)，其中α是角加速度。根据牛顿第三定律，质点所受的合力等于它对轴线的作用力，因此可以得到F=Iα，其中I是转动惯量。将上面两个式子结合起来，可以得到I=mr²。

2. 关于圆柱转动惯量公式的推导

接下来考虑一个沿轴线旋转的圆柱体。假设圆柱的半径为r，高为h，质量为m，那么圆柱的转动惯量可以表示为I=½mr²+⅓mh²。这个公式可以通过以下推导得出：

我们可以将圆柱看作由许多质量为dm的质点组成。这些质点离轴线的距离可以表示为r，因此它们的转动惯量可以表示为dI=dmr²。将所有的质点的转动惯量相加，可以得到圆柱的总转动惯量：

I=∫(r²dm) =∫(r²ρdV)

其中，ρ是圆柱的密度，dV是圆柱的体积元素。对于一个圆柱体，它的体积元素可以表示为dV=2πrhdz。将上面的式子代入上式中，可以得到：

I=∫(r²ρ2πrhdz) =2πρ∫(r³hdz)

由于圆柱的高为h，因此可以将上面的积分转化为：

I=2πρh∫(r³dz) =2πρh(1/4)h^4=½mr²+⅓mh²

3. 关于刚体转动惯量定理的推导

最后，我们介绍刚体转动惯量定理，即J=I+md²，其中J是刚体围绕某一点旋转的转动惯量，I是刚体相对于质心旋转的转动惯量，m是刚体的质量，d是质心与旋转轴之间的距离。这个公式可以通过以下推导得出：

我们可以将刚体看作由许多质点组成，每个质点都离质心的距离为r。根据平行轴定理，任何一个质点相对于刚体的质心的转动惯量可以表示为I'=I+md²。因此，刚体相对于某一点的总转动惯量可以表示为：

J=∑(I'+md²) =I+∑(md²) =I+md²

其中，∑(md²)表示所有质点与旋转轴之间的距离的平方乘以它们的质量之和。将上式中的∑(md²)展开，并应用牛顿第二定律，可以得到J=I+md²。

通过以上的推导，我们可以得出几种常见的刚体转动惯量公式，它们在物理学中有着广泛的应用。