三角形是数学中的基础概念之一，而边长平方公式则是三角形中最基本的公式之一。本文将从什么是边长平方公式、如何应用边长平方公式以及边长平方公式的证明三个方面来介绍这一公式。

首先，什么是边长平方公式？边长平方公式是用来计算三角形三边长度平方之和的公式，也被称为勾股定理。其表达式为：a²+b²=c²，其中a、b、c分别代表三角形的三边长度。这个公式可以用于计算任意三角形的边长，但前提是其中至少有一个角度为直角。

接着，我们来看一下如何应用边长平方公式。假设我们已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，那么我们可以通过边长平方公式求出斜边长：c²=3²+4²=9+16=25，因此c=5cm。同理，如果我们已知斜边长和一个直角，也可以通过边长平方公式求出另外两条边长。

最后，我们来看一下边长平方公式的证明。首先，我们可以将一个直角三角形分成两个直角三角形，如图所示：


根据勾股定理可得：a²+b²=c′²+d²。而由于c′=a+d，我们可以将上式化简为：a²+b²=(a+d)²+d²，即a²+b²=a²+2ad+d²+d²，进一步化简为：a²+b²=c²。

综上所述，边长平方公式在数学中扮演着重要的角色，它不仅可以用于计算三角形的边长，而且还可以应用于各种不同的实际问题中。