角平分线分对边成比例定理是初中数学中的一个重要定理，它指出如果一条角平分线分别与一条直线的两个部分相交，那么这两个部分所构成的线段的比等于这条直线两侧的两个角的比。

我们来证明一下这个定理。假设有一个三角形ABC，其中角BAD是角BAC的平分线，点D位于BC上。则根据角平分线的定义，角BAD和角DAC相等。

现在我们来分别计算出BD和DC所构成的线段的长度。我们可以根据三角形的相似性得到：BD/AB = BC/AC，以及DC/AC = BC/AB。将这两个式子相除，得到BD/DC = AB/AC。

接下来我们来证明一下这个结论。我们可以通过使用正弦定理来计算三角形ABC中各个角的正弦值，得到sin∠BAD/sin∠DAC = sin∠BAC/sin∠ABC。因为∠BAD和∠DAC是相等的，所以sin∠BAD = sin∠DAC，于是我们可以将这两个角的正弦值约掉，得到sin∠BAC/sin∠ABC = AB/AC。

现在我们来将这两个等式联系起来。我们可以将其中一个等式进行变形，得到BD/DC = AB/AC。这就证明了角平分线分对边成比例定理。

这个定理的应用非常广泛。在解决一些几何问题时，我们经常需要使用角平分线分对边成比例定理。例如，在求解三角形中某个角的大小时，我们可以使用这个定理来计算出该角所对的线段的长度，然后再使用正弦定理来计算出该角的正弦值，从而求出该角的大小。