根号7是不是无理数
在数学中,无理数指的是不能表示为两个整数的比例的实数。而根号7就是一个被广泛认为是无理数的数。
首先,我们可以通过反证法来证明根号7是无理数。假设根号7是有理数,即可以表示为两个整数的比例,即根号7 = m/n,其中m和n为整数且它们没有共同的因子。我们可以将等式两边平方得到7 = m^2/n^2,即m^2 = 7n^2。这表明m^2是7的倍数,因此m也是7的倍数。设m = 7k,则7n^2 = m^2 = (7k)^2 = 49k^2,即n^2 = 7k^2。这表明n^2是7的倍数,因此n也是7的倍数。这与m和n没有共同因子相矛盾,因此假设不成立,根号7是无理数。
其次,我们可以通过连分数来证明根号7是无理数。连分数是将一个实数表示为一个整数和一个真分数相加的表达式。对于根号7,我们可以得到以下连分数:
根号7 = [2; (1,1,1,4,1,1,1,4,…)]
其中,方括号表示整数部分,括号内的数字表示真分数部分的分子,分母为1。这个连分数是无限循环的,其中数字1和4交替出现。由于这个连分数没有结束,因此根号7是无理数。
综上所述,根号7是一个被广泛认为是无理数的数。
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