二重积分是微积分中的重要工具，用于计算平面上某个区域内的某个函数值在该区域上的加权平均值。在几何上，二重积分可以用来计算平面上某个区域的面积、质心、重心、转动惯量等物理量。

考虑一个平面区域D，它可以被分成许多小区域，每个小区域可以看成一个矩形。设每个矩形的长和宽分别为Δx和Δy，函数f(x,y)在该矩形上的取值为f(xi,yj)。则该矩形的面积为ΔS=ΔxΔy，它对函数值的加权平均为f(xi,yj)ΔS。将所有小矩形的面积加起来，即可得到整个区域D的面积：

S = ∬D dS = ∬D ΔxΔy = ∬D dxdy

其中dS表示面积元素，dxdy表示面积元素在直角坐标系下的微元面积。

同样地，可以用二重积分计算区域D的质心和重心。假设区域D的总质量为M，每个小矩形的质量为ρ(xi,yj)ΔS，其中ρ(xi,yj)为该矩形上的密度值。则区域D的质心(xc,yc)和重心(xg,yg)分别为：

xc = ∬D xρ(x,y) dxdy / M

yc = ∬D yρ(x,y) dxdy / M

xg = ∬D xρ(x,y) dxdy / ∬D ρ(x,y) dxdy

yg = ∬D yρ(x,y) dxdy / ∬D ρ(x,y) dxdy

其中，ρ(x,y)可以看作是一个二元函数，在区域D上的积分可以用二重积分来计算。

此外，二重积分还可以用来计算区域D的转动惯量。设区域D的密度分布为ρ(x,y)，则区域D的转动惯量I关于坐标轴Ox为：

I = ∬D y^2ρ(x,y) dxdy

同理，可以计算关于坐标轴Oy和任意轴的转动惯量。

总之，二重积分在几何上的应用非常广泛，它可以用来计算平面区域的面积、质心、重心、转动惯量等重要物理量。